Chemquiry ブログ
化学の探求サイト“Chemquiry”のブログ。
バカテスト解説！（保健体育と数学・7.5-b） 霧島さんの体重を算出せよ！
バカテスト解説&間違い直し！ 第8弾！
今回は、ファミ通文庫のHPで先読みできる
『バカとテストと召喚獣7.5』（※発売日→2/27）中の
短編「僕とダウトと男の尊厳」本文中から気になる箇所をピックアップしてみたぞ！
まずは、ココで本文を読んでから、解説を見てくれ！
バカテスト解説はコチラ。
今回の短編は、トランプゲーム「ダウト」を題材にしていますね！
私はまだ幼いころ、友達3人とダウトで遊んでいたとき、
自分が今出すべきカードの番号は、当分出すことはない（13ターン経過するまで出すことはない）こと、
そしてさらに、これはダウトを3人でやろうが、5人でやろうが成り立つということに気付いて、えらく感動したものです。
下の図を参照。
例えば、4人でダウトをプレイし、自分が「A」を出すべきところから始まったとする。
すると、不思議なことに、AからKまで13ターンで重複なく出さねばならないことになる！
3人でプレイしても、5人でプレイしても、もちろん6人でプレイすることになっても、重複は起こらない！
↓これを続けると…
すべて塗りつぶせる！（見にくいけど…）
つまり「A」を出したら、次に出す順番が回ってくるのは、常識的な人数でプレイするなら、何人でやっても13ターン後だ！
まあ、今、整数論的に考えてみると、それは当たり前のことで、
全ては、「13」という数字が素数であることに帰着するわけで、ダウトを13の倍数の人数でプレイしない限りは（そんなに大人数でやることはないよね！）A～Kまで満遍なく出すことになるわけです。
これが、私の「合同式（mod・モデュロ・モッド）」の概念に気付いた（？）初めての出来事で、東京出版（大学への数学を出してるトコ）の
マスター・オブ・整数（↓コレ）
の62ページで上に描いた図とほぼ同じ図を見て、えらく感動したのを覚えています。
すなわち、「mod p（pは素数）での倍数の均等性」を身をもって発見した（？）わけです。
証明は簡単にできますね。「マスター・オブ・整数」に証明が2つ載っていますが、そのうちの1つを簡単に紹介しておきましょう。
「 i , j を1から13までの整数で、 i ＞ j とする。
このとき、トランプゲーム「ダウト」を4人で遊ぶとすると、 i 回目に出すべきカードの番号と、 j 回目に出すべきカードの番号が異なる」こと
を背理法で示す。
もしも、万が一にも、そんなことはありえないんだけど、
i 回目に出すべきカード番号と j 回目に出すべきカード番号が同じだとすると、
4i ≡ 4j （mod 13） ← 4i と4j を13で割った余り（剰余）は等しい。
∴ 4(i－j) ≡ 0 (mod 13) ← 4(i－j)を13で割った余りは0である。（13で割り切れる）
∴ i－j ≡ 0 (mod 13) …【☆】 ← 4は13の約数ではないから、
(i－j)を13で割った余りは0である。（13で割り切れる）
ここで、i－j は（「 i , j を1から13までの整数で、i＞j とする」と条件をつけたため、）1以上12以下の整数であるから、【☆】に矛盾。
よって、背理法により題意は証明された！（Q.E.D.）
そもそも、確立論なんかは、トランプとかの賭け事の期待値なんかを求めるためなんかに発達した（？）わけですから、トランプも奥が深いんですねぇ。
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私はまだ幼いころ、友達3人とダウトで遊んでいたとき、
自分が今出すべきカードの番号は、当分出すことはない（13ターン経過するまで出すことはない）こと、
そしてさらに、これはダウトを3人でやろうが、5人でやろうが成り立つということに気付いて、えらく感動したものです。
下の図を参照。
例えば、4人でダウトをプレイし、自分が「A」を出すべきところから始まったとする。
すると、不思議なことに、AからKまで13ターンで重複なく出さねばならないことになる！
3人でプレイしても、5人でプレイしても、もちろん6人でプレイすることになっても、重複は起こらない！
↓これを続けると…
すべて塗りつぶせる！（見にくいけど…）
つまり「A」を出したら、次に出す順番が回ってくるのは、常識的な人数でプレイするなら、何人でやっても13ターン後だ！
まあ、今、整数論的に考えてみると、それは当たり前のことで、
全ては、「13」という数字が素数であることに帰着するわけで、ダウトを13の倍数の人数でプレイしない限りは（そんなに大人数でやることはないよね！）A～Kまで満遍なく出すことになるわけです。
これが、私の「合同式（mod・モデュロ・モッド）」の概念に気付いた（？）初めての出来事で、東京出版（大学への数学を出してるトコ）の
マスター・オブ・整数（↓コレ）
の62ページで上に描いた図とほぼ同じ図を見て、えらく感動したのを覚えています。
すなわち、「mod p（pは素数）での倍数の均等性」を身をもって発見した（？）わけです。
証明は簡単にできますね。「マスター・オブ・整数」に証明が2つ載っていますが、そのうちの1つを簡単に紹介しておきましょう。
「 i , j を1から13までの整数で、 i ＞ j とする。
このとき、トランプゲーム「ダウト」を4人で遊ぶとすると、 i 回目に出すべきカードの番号と、 j 回目に出すべきカードの番号が異なる」こと
を背理法で示す。
もしも、万が一にも、そんなことはありえないんだけど、
i 回目に出すべきカード番号と j 回目に出すべきカード番号が同じだとすると、
4i ≡ 4j （mod 13） ← 4i と4j を13で割った余り（剰余）は等しい。
∴ 4(i－j) ≡ 0 (mod 13) ← 4(i－j)を13で割った余りは0である。（13で割り切れる）
∴ i－j ≡ 0 (mod 13) …【☆】 ← 4は13の約数ではないから、
(i－j)を13で割った余りは0である。（13で割り切れる）
ここで、i－j は（「 i , j を1から13までの整数で、i＞j とする」と条件をつけたため、）1以上12以下の整数であるから、【☆】に矛盾。
よって、背理法により題意は証明された！（Q.E.D.）
そもそも、確立論なんかは、トランプとかの賭け事の期待値なんかを求めるためなんかに発達した（？）わけですから、トランプも奥が深いんですねぇ。
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Tag : バカとテストと召喚獣バカテストダウトmod
